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| Diese Fallunterscheidungen, sind damit zu erklären, dass ab einer Feldstärke \(h^z \leq h^z_c\) das externe Magnetfeld stärker als die inneren Wechselwirkungen ist und es somit energetisch günstiger ist, dem Magnetfeld zu folgen. Der mittlere Fall für Ketten mit gerader Anzahl an Plätzen ist den offenen Randbedingungen geschuldet, da hierdurch zunächst nur der Rand-Spin am Magnetfeld ausgerichtet wird. Dies ist daran zu erkennen, dass es sich nur um eine kleine Veränderung handelt. | Diese Fallunterscheidungen, sind damit zu erklären, dass ab einer Feldstärke \(h^z \leq h^z_c\) das externe Magnetfeld stärker als die inneren Wechselwirkungen ist und es somit energetisch günstiger ist, dem Magnetfeld zu folgen. Der mittlere Fall für Ketten mit gerader Anzahl an Plätzen ist den offenen Randbedingungen geschuldet, da hierdurch zunächst nur der Rand-Spin am Magnetfeld ausgerichtet wird. Dies ist daran zu erkennen, dass es sich nur um eine kleine Veränderung handelt. | ||
| In den folgenden beiden Abbildungen sind diese zwei bzw. drei Bereiche gut zu erkennen. | In den folgenden beiden Abbildungen sind diese zwei bzw. drei Bereiche gut zu erkennen. | ||
| - | [{{ :de:energie_gerade_ungerade.png?900 |Grundzustandsenergie in Abhängigkeit zum angelegten Magnetfeld für eine Kette mit gerader bzw. ungerader Anzahl an Plätzen}}] | + | [{{ :wiki:energie_gerade_ungerade.png?900 |Grundzustandsenergie in Abhängigkeit zum angelegten Magnetfeld für eine Kette mit gerader bzw. ungerader Anzahl an Plätzen}}] |
| - | [{{ :de:sz_sx.png?900 |Erwartungswert von \(S^z\) in Abhängigkeit zum angelegten Magnetfeld für eine Kette mit gerader bzw. ungerader Anzahl an Plätzen}}] | + | [{{ :wiki:sz_sx.png?900 |Erwartungswert von \(S^z\) in Abhängigkeit zum angelegten Magnetfeld für eine Kette mit gerader bzw. ungerader Anzahl an Plätzen}}] |
| ==== Ferromagnet ==== | ==== Ferromagnet ==== | ||
| In diesem Fall gibt das Vorzeichen von \(h^z\) immer die Ausrichtung der Spins an. | In diesem Fall gibt das Vorzeichen von \(h^z\) immer die Ausrichtung der Spins an. | ||
| Line 104: | Line 104: | ||
| In den Abbildungen ist zu erkennen, dass die numerischen Ergebnisse den analytischen entsprechen. | In den Abbildungen ist zu erkennen, dass die numerischen Ergebnisse den analytischen entsprechen. | ||
| - | [{{ :de:energie.png?900 |Größenbereinigte Grundzustandsenergie in Abhängigkeit zum angelegten Magnetfeld}}] | + | [{{ :wiki:energie.png?900 |Größenbereinigte Grundzustandsenergie in Abhängigkeit zum angelegten Magnetfeld}}] |
| - | [{{ :de:erwartungswert_z.png?900 |Größenbereinigte Erwartungswerte von \(S^z\) in Abhängigkeit zum angelegten Magnetfeld}}] | + | [{{ :wiki:erwartungswert_z.png?900 |Größenbereinigte Erwartungswerte von \(S^z\) in Abhängigkeit zum angelegten Magnetfeld}}] |
| ===== Heisenberg-Modell ===== | ===== Heisenberg-Modell ===== | ||
| Das Heisenberg-Modell verallgemeinert die im Ising-Modell auf eine Raumrichtung festgelegten Spins in alle Raumrichtungen. Da die Anzahl der Freiheitsgrade hierdurch ansteigt, ist die Berechnung deutlich aufwendiger. Daher wird in den meisten Fälle hiermit die exakte Lösbarkeit geopfert. Mit dem Bethe-Ansatz((Karbach, Michael ; Hu, Kun ; Müller, Gerhard: Introduction to the Bethe Ansatz II. In: Comput. Phys. 12 (1998), November, S. 565–573. – URL http://portal.acm.org/citation.cfm?id=307043.307062. – ISSN 0894-1866)) kann das ein-dimensionale Heisenberg-Modell allerdings gelöst werden. Der Hamilton-Operator einer Kette im Heisenberg-Modell lautet: | Das Heisenberg-Modell verallgemeinert die im Ising-Modell auf eine Raumrichtung festgelegten Spins in alle Raumrichtungen. Da die Anzahl der Freiheitsgrade hierdurch ansteigt, ist die Berechnung deutlich aufwendiger. Daher wird in den meisten Fälle hiermit die exakte Lösbarkeit geopfert. Mit dem Bethe-Ansatz((Karbach, Michael ; Hu, Kun ; Müller, Gerhard: Introduction to the Bethe Ansatz II. In: Comput. Phys. 12 (1998), November, S. 565–573. – URL http://portal.acm.org/citation.cfm?id=307043.307062. – ISSN 0894-1866)) kann das ein-dimensionale Heisenberg-Modell allerdings gelöst werden. Der Hamilton-Operator einer Kette im Heisenberg-Modell lautet: | ||
| Line 113: | Line 113: | ||
| Für den ferromagnetischen Fall ist die Grundzustandsenergie identisch zum Ising-Modell (ohne Magnetfeld). Der Erwartungswert von \(S^z_i\) befindet sich im Intervall \([-0.5, 0.5]\). | Für den ferromagnetischen Fall ist die Grundzustandsenergie identisch zum Ising-Modell (ohne Magnetfeld). Der Erwartungswert von \(S^z_i\) befindet sich im Intervall \([-0.5, 0.5]\). | ||
| Die Grundzustandsenergie pro Platz bzw. pro Bindung ist für den antiferromagnetische Fall im folgenden Plot abgebildet: | Die Grundzustandsenergie pro Platz bzw. pro Bindung ist für den antiferromagnetische Fall im folgenden Plot abgebildet: | ||
| - | [{{ :de:bethe.png?900 |Abhängigkeit der Grundzustandsenergie von der Kettenlänge}}] | + | [{{ :wiki:bethe.png?900 |Abhängigkeit der Grundzustandsenergie von der Kettenlänge}}] |
| Der Fit liefert eine Grundzustandenergie von \(-0.4407\pm0.00057\) pro Bindung für eine unendlich lange Kette. Mit dem Bethe-Ansatz erhält man \(\frac{1}{4}-ln(2)=-0.443147\). Der berechnete Wert liegt somit relativ nah am analytischen Wert. | Der Fit liefert eine Grundzustandenergie von \(-0.4407\pm0.00057\) pro Bindung für eine unendlich lange Kette. Mit dem Bethe-Ansatz erhält man \(\frac{1}{4}-ln(2)=-0.443147\). Der berechnete Wert liegt somit relativ nah am analytischen Wert. | ||
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